Der Kristallplanet, Teil 13

von Marco Bischof erschienen in Hagia Chora 21/2005

Kosmische Rhythmen und musikalische Gesetzmäßigkeiten münden in ein einheitliches mathematisches System, das bereits den Dichtern der Veden bekannt war, so die These des Musikwissenschaftlers Ernest McClain, den Marco Bischof bereits in der vorigen Folge seiner Artikelserie vorstellte. Diesmal geht es um die Yantras, geometrische Umsetzungen dieser Zahlentheorie als Darstellung der Grundordnung der Welt.

Wie wir bereits im ersten Teil unseres Berichts über Ernest -McClains "Mythos der Invarianz" gesehen haben, gehen auch Korrelationen zwischen Musik und Astronomie in die Ton-Mandalas des amerikanischen Forschers ein. Hauptbestreben der Schöpfer des archaischen Weltbilds war es offensichtlich, die verschiedenen von ihnen beobachteten Rhythmen zu einem einheitlichen System zu fassen und damit auch die Gesamtharmonie von Himmel, Erde und Mensch auszudrücken. Es war daher von entscheidender Bedeutung, den Kalender mit dem kosmischen Geschehen in eine klingende Einheit zu bringen. So spielten in der Antike die mathematische Theorie sowohl in der Astronomie wie auch in der Musiktheorie die zentrale Rolle, wie Otto Neugebauer in seinem berühmten Werk über "Die exakten Wissenschaften im Altertum" (1952) schreibt.
In McClains Untersuchungen nimmt die Korrelation zwischen den einfachsten Formen der Tonleiter und dem Kalender, der Sonne- und Mondrhythmen harmonisiert, einen zentralen Platz ein. Der 30-Tage-Monat und das schematische 12-Monate-Jahr mit 360 Tagen, die schon früh in der Geschichte auftreten, besitzen eine enge Beziehung zur Tonleiter, und zwar in Form der diatonischen Tonleiter mit den kleinsten ganzen Zahlen in der 30:60--Oktave sowie der davon abgeleiteten chromatischen Tonleiter in der 360:720-Oktave. So bestand z.B. das vedische Jahr aus 12 Monaten von je 30 Tagen mit einem gelegentlichen Schaltmonat von ebenfalls "dreißig Gliedern", und der vedische Tag enthielt 30 Stunden von je 60 Minuten. Die Monate waren gruppiert in Paare von Doppelmonaten, durch die das Jahr sechs Jahreszeiten erhielt. Im Rigveda wird die Sonne metaphorisch als der "Vogel" bezeichnet, dessen "Morgengesang, der das Gebet repräsentiert, über die 30 Reiche oder Regionen der Welt herrscht". Ein Zyk-lus von 30 Einheiten hat die Eigenschaft, den Monat auf arithmetischer Ebene mit der diatonischen, indisch-griechischen Tonleiter zu harmonisieren; die dazu reziproke harmonische Tonleiter harmonisiert das 360-Tage-Jahr mit der chromatischen Tonleiter.
Die heutigen Astronomen halten gewöhnlich nicht viel von der Auffassung, ihre Vorläufer im Altertum könnten solche unbequemen Kalendereinheiten wie den 30-Tage-Monat und das 360-Tage-Jahr erfunden haben, da Beobachtungen ein solches System sehr schnell als falsch erwiesen hätten. Offenbar hatten musikalische Erwägungen hier ein größeres Gewicht; Musiker brauchen Einheiten dieser Größe für eine systematische Erkundung der Oktave. Die 7-Tage-Woche wurde von den Indern und Hebräern lange vor ihrer Einführung in Ägypten und Griechenland verwendet - vermutlich wurde sie als Entsprechung zu den sieben Tönen der diatonischen Tonleiter aufgefasst.

Der Tonkalender
Die kleinsten ganzen Zahlen, die die elf Töne des in der letzten Folge besprochenen Tonmandalas der "indisch-griechischen Tonleiter" und ihres Reziproks -(30:60) in chromatischer Ordnung definieren, liegen innerhalb der Doppel-Oktave 720:360. Die 360 internen Unterteilungen dieses neuen Mandalas - McClain nennt es das "Mandala des Tonkalenders" - sind keine Grade, sondern numerische Einheiten, die logarithmisch aus der -Basis 2 entwickelt wurden. Sie korrelieren numerisch mit dem idealisierten Jahr von 360 Tagen. Die Grenzzahl dieses Zahlenmandalas, 720 (das ist 6 Fakultät), ergibt insgesamt 18 Tonzahlen, die symmetrisch um ihr "Mittel" beim Ton D verteilt sind. Dieses Tonmandala, das die "reine" oder "natürliche" Stimmung repräsentiert, ist das Grundschema eines alten "Ton-Kalenders", den McClain hier erschließt.
Mythologisch können die 18 Tonzahlen, wie McClain schreibt, als die "Fülle von Indras Klangmacht" über den Drachen Vrtra, das Chaos des Tonhöhen-Kontinuums, bis zum Limit von 720 betrachtet werden. Das Tonkalender-Mandala ist nach McClain eingehend in der rigvedischen Schöpfungshymne "Vision in langer Dunkelheit" des blinden Dichter-Sehers und Astronomen Dirghatama beschrieben, die unzählige arithmetische und geometrische Anspielungen enthält. In seiner Hymne heißt es: "Zwölf Speichen, ein Rad, drei Naben - wer kann das verstehen? Auf ihm dreihundert und sechzig wie Pflöcke; sie zittern nicht im mindesten." Wenn wir die "12 Speichen" als die zwölf Töne einer musikalischen Tierkreis-Oktave auffassen, dann könnten die "drei Naben" Potenzen der drei Primzahlen 2, 3 und 5 sein, von denen jede gewissermaßen mit ihrer eigenen Geschwindigkeit rotiert und die zueinander in Bezug gesetzt werden durch eine Grenzzahl, die alle drei Zahlen als Faktoren hat. Die 360 "wie Pflöcke" wären dann die 360 Unterteilungen innerhalb der 720:360-Oktav-Matrix, die unsere reziproken Sieben-Ton-Tonleitern miteinander verbindet. In Vers 36 spricht Dirghatamas von "sieben Halb-Embryos", die McClain als die zwei Arten deutet, auf die jede diatonische Tonzahl funktioniert. Jede Tonzahl dient nicht nur als "Speiche" im "einrädrigen Wagen" der Sonne, sondern bildet gleichzeitig auch das Zent-rum eines eigenen Rades (Tonfeldes): ein Hinweis darauf, dass immer alternative Perspektiven zu berücksichtigen sind. In Vers 15-16 beschreibt Dirghatamas den kalendarischen Aspekt wie folgt: "Neben den Monaten in Paaren gibt es einen siebenten, allein geboren; die sechs Zwillingspaare sind gottgeborene -Rishis, wie es heißt; ihre Opfer erfolgen im Einklang mit klaren Regeln; Wandel geschieht nach Übereinkunft. Obwohl sie in Wahrheit weiblich sind, heißt es, sie seien männlich. Wer Augen hat, sieht gewisslich, die Blinden aber wissen es nicht." An einer anderen Stelle (-Verse 11-12) spricht der Seher im Zusammenhang mit dem "zwölf-speichigen Rad der Rita" von "sieben mal hundert und zwanzig Söhnen in Paaren" sowie von einem "Vater mit fünf Füßen und zwölf Formen", nach McClain eine Anspielung auf die 360 Tage und 360 Nächte des Jahres bzw. die 720:360 = 2:1 der kalendarischen Oktav-Matrix. Der Vater hat "fünf Füße" insofern, als pentatonische Tonleitern die Grundlage des Tonkalenders sind, und "zwölf Formen" in dem Sinn, dass die ganze Entwicklung in einem chromatischen "Zwölfton-Jahr" bzw. einem "Zwölfton-Tierkreis" kulminiert. Die "fünf Füße" stehen auch für die Basis der fünf Töne C, G, D, A und E, die dem Tonkalender-Mandala zugrundeliegt. In der Deutung McClains ist der "siebente, allein geborene" Sohn eine Anspielung auf das Referenz-Mittel D, so dass wir im Tonkalender in der Tat sechs Gruppen von Zwillingen mit einem dreizehnten vor uns haben. Da die meisten dieser Zahlen gerade sind, sind sie scheinbar "weiblich", obwohl sie von ihrer Entstehung her aus den Zahlen 3 und 5 maskulin sind. Dirghatamas Anspielung auf seine eigene Blindheit in Bezug auf die absolute Wahrheit ist, wie McClain schreibt, durchaus angebracht angesichts der Vielzahl alternativer Perspektiven, die in diesem Mandala (und im Rigveda) zur Verfügung gestellt werden. Wie schon de Nicolás ausführte (siehe Hagia Chora Ausgabe 19), erzählt Dirghatamas Hymne dem Hörer unablässig neue Alternativen, ohne sich um den konsistenten Ablauf einer "guten Geschichte" zu kümmern. Nach McClain präsentiert er damit Anspielungen auf alle wichtigen alternativen musikalischen Perspektiven. Wie de Nicolás schreibt, konfrontiert er uns mit dem Sat (dem Existierenden) "in seiner tatsächlichen dynamischen Form . und nicht in irgendeiner konzeptuellen oder statischen Form" (de Nicolás, 1971).

Musikalische Kommata
Eines der interessantesten Probleme der musikalischen Stimmungstheorie sind die so genannten Kommata: Unstimmigkeiten bei der Einordnung der natürlichen Obertonreihe in Tonsysteme, die Intervalle als Zahlenverhältnisse behandeln. Eine Analogie dazu bilden die kalendarischen Diskrepanzen zwischen Mond- und Sonnenzyklus, die immer wieder in den Mythen angesprochen werden. Wenn mit unterschiedlichen Intervallen, die auf der natürlichen Obertonreihe basieren (reine Intervalle), ein bestimmter Tonraum beschrieben wird, kommt es zu einem eigenartigen Phänomen: Beispielsweise müsste ein großes Intervall, das sich aus vier reinen Quinten (Verhältnis 2:3) ergibt, theoretisch genauso klingen wie dasselbe Intervall aus zwei reinen Oktaven (1:2) und einer großen Terz (4:5). Das ist aber nicht der Fall: Wenn beide gleichzeitig erklingen, hören wir eine Schwebung, eine Differenz, die man "Komma" nennt. In unserem Beispiel beträgt das Komma 81:80, was 21,506 Cents entspricht (so genanntes syntonisches Komma).
Wenn man nun die Ton-Mandalas mit den tonalen Entsprechungen für (a) die kalendarische Unstimmigkeit im 354-Tage-Zyklus der zwölf Mondmonate, (b) den kalendarischen Überschuss im 365-tägigen Sonnenjahr und (c) der verwandten Unstimmigkeit im hebräischen 50-jährigen Jubeljahr-Zyklus, mit dem auch die "Sabbathjahre" berechnet werden, betrachtet, so fällt auf, dass alle drei Mandalas ihr Hauptaugenmerk auf den Platz der Quadratwurzel von 2, gegenüber dem Ausgangspunkt auf D, legen, d.h. auf den Platz, wo perfekt koordinierte Zyklen theo-retisch beginnen. Im Mythos ist es immer dieser "Anfang", über den Unsicherheit besteht, und die rigvedischen Seher-Dichter wollen dieses Wissen nicht einmal Gott zubilligen: "Die Götter sind später als dieser Welt Schöpfung; wer weiß denn schon, wann sie ins Leben trat? Er, der erste Ursprung dieser Schöpfung, ob er sie überhaupt schuf oder nicht schuf; dessen Auge diese Welt im höchsten Himmel lenkt, er kennt ihn, oder vielleicht kennt er ihn nicht" (Rigveda 10, 129, 6-7). Im Mandala der Mondmonate, das eine Teilmenge des kalendarischen Mandalas für 360:720 der reinen Stimmung ist, sehen wir, dass die nächste Näherung zur ÷`2 das Intervall von As zu gis ist. Dieses Intervall beschreibt knapp eine Oktave, es fehlt nur das Komma, das die Musiker "Diesis" nennen, und das etwa 41 Cents oder ?10 ¥ 41 = 12,3 Grad beträgt. Zwölf Mondwechsel von 29,5 Tagen ergeben 354 Tage und sind um 11 Tage kürzer als das Sonnenjahr, d.h. etwa um die gleiche Portion des Mandalas. Da der Tonraum zwischen As und gis durch drei reine Terzen (Verhältnis 4:5) ausgefüllt ist (As-c, c-e, und e-gis), von denen jede vier Halbtöne umfasst, halten sie eine Zwölfton-Verbindung mit den zwölf Monaten des Jahres aufrecht. Demgegenüber wird im Mandala des Sonnenjahr-Überschusses der Tonraum mit reinen Quarten und Quinten gemäß der pythagoräischen Stimmung aufgebaut. Dies erreicht eine stärkere Näherung an die gleichschwebende Temperierung oder Stimmung, und es ergibt sich das so genannte pythagoräische Komma, ein Verhältnis, bei dem As und gis sich überlappen. Dieses Komma besitzt einen Wert von 24 Cents oder ?10 ¥ 24 = 7,2 Grad. Die "solare" Stimmung, die durch die "göttliche männliche Zahl 3" erzeugt wird, weist somit einen Mandala-Überschuss auf, der grob gerechnet dem Überschuss des 365-tägigen Sonnenjahres gegenüber der 360-tägigen Kalenderbasis entspricht. Jegliche Stimmung durch die "reinen" Zahlenverhältnisse ganzer Zahlen würde zu Ton-Spiralen statt zu Ton-Zyklen führen, und in der unendlichen Komplexität der astro-nomischen Zyklen würden wir, so -McClain, bestimmt Entsprechungen zu allen musikalischen Kommata finden. Was das Mandala des hebräischen Jubel-Zyklus angeht, so sehen wir daran, was geschieht, wenn man das Zahlenverhältnis 7:5 in einem tonalen Kontext als Annäherung an ÷`2 verwendet. Die Symmetrie führt uns zum doppelten 35:70, so dass sowohl eine Multiplikation mit 7?5 wie auch mit 5?7 ganzzahlige Produkte ergeben. Hier erhalten wir ein Komma des Zahlenverhältnisses 49:50, das etwa 34 Cents oder ?10 ¥ 34 = 10,2 Grad beträgt. Im Alten Testament wurde festgesetzt, dass die Hebräer nach "sieben Wochen von Jahren", d.h. 49 Jahren, das fünfzigste Jahr als "Jubelfest" feiern sollten, ein Jahr, in dem keine Feldfrüchte gepflanzt oder geerntet werden und alle Schulden erlassen werden sollten (Leviticus 25:8-13). Die Zahlenverhältnisse dieses Mandalas spielen ebenfalls eine Rolle in Platos -"Republik" (siehe später) und auch in den Hymnen des Rigveda.
In einer der rigvedischen Hymnen an die Maruts, die "Sturmgötter" und "Helfer Indras", wird ihre Zahl als 49 angegeben. Wie McClain zur Erklärung anbietet, hätte ein Quadrat mit Seiten von 5 Einheiten in ganzzahliger Näherung einen Durchmesser von ÷`4`9 = 7, und ein Quadrat mit Seiten von 7 Einheiten entsprechend einen Durchmesser von ÷`1`0`0 = 10. Somit gibt es zwischen den Zahlen 5, 7, 10, 49 und 100 in diesem fundamentalen Problem einen Zusammenhang. Wenn es im Rigveda heißt, "ersetze das ausgerenkte Glied" (8.20.26), so könnte man das als Gebet an die Maruts verstehen, dem Bittsteller zu helfen, in "Indras Tanz" einen sicheren Tritt zu finden. Shiva wird z.B. oft tanzend auf einem Bein abgebildet, als hätte er das Problem, mit dem wir es hier zu tun haben, schon bewältigt. Die Maruts wurden, wie es in Rigveda 1.64.4 heißt, "zusammen geboren, aus sich selbst", was McClain als Anspielung darauf wertet, dass sie für das Quadrat von 7 stehen könnten. Und da das Verhältnis 7:5 eine einfache Näherung für ÷`2 ist, erscheint es McClain einleuchtend, warum die 49 Maruts "keine Diebe, sondern Helfer, prächtig anzusehen" waren (Rigveda 5.52.12). Die wirkliche Lösung für das Problem der Maruts - und für dasjenige der kalendarischen Kommata - erfordert jedoch, wie McClain schreibt, dass wir uns mit komplexeren numerischen Problemen befassen.

Algebraische Yantras
Zu diesem Zweck führt der Musikwissenschaftler ein neues Instrument ein, die "algebraischen Yantras". Mandalas haben den Nachteil, dass sie sich nur zur Darstellung der metrischen Eigenschaften der Tonzahlen eignen. Eine geeignetere Weise, um algebraische Operationen zu kodifizieren und ein systematisches Bild des Zahlenfelds zu gewinnen, sind die aus der indischen Kultur bekannten Yantras. Ein Yantra (im Sanskrit "Gerät, Apparat") ist "eine geometrische Repräsentation der Ebenen und Energien des Kosmos und des menschlichen Organismus, der eine mikroskopische Entsprechung des Makrokosmos ist" (Feuerstein, 1997). Wie das Mandala wird es, besonders in Tantrismus und Yoga, als Werkzeug zur Konzentration und Meditation verwendet, und um mit Hilfe von Visualisierungspraktiken eins mit einer Gottheit zu werden, deren "Körper" das Symbol repräsentiert. Mit zehn einfachen Kieselsteinen, wie sie die Pythagoräer verwendeten, lassen sich die algebraischen Aspekte der musikalischen Zahlentheorie in dreieckigen Matrix-Anordnungen kodifizieren, die wie die Berge aussehen, von denen die mythischen Götter der alten Hindus und der Hebräer gleichermaßen ihre Blitze auf ihre Feinde schleuderten. Die "heilige Tetraktys", der Schlüssel zur pythagoräischen Zahlenlehre, den Albert von Thimus im 19. Jahrhundert wiederentdeckte, konnte mit Hilfe dieser Steine auf einfache Art auf dem Erdboden dargestellt werden.
Um mit der Methode der Erzeugung von "superpartikularen" Zahlenverhältnissen durch Paare aufeinanderfolgender ganzer Zahlen ähnliche Reihen von gleichen Intervallen mit den "männlichen" Zahlenverhältnissen 2:3, 3:4, 4:5 usw. zu erhalten, wie sie durch die "weibliche" Oktavierung entstehen, müssen "Väter" gefunden werden, die zwei oder mehr solcher Zahlenverhältnisse in Folge produzieren. Die Regel, nach der eine Operation funktio-niert, in der das Resultat immer mit den kleinsten möglichen ganzen Zahlen ausgedrückt werden soll, wurde von dem neoplatonischen Mathematiker Nikomachos von Gerasa (ca. 100 v.Chr.) in seiner "Einführung in die Arithmetik" aufgestellt. "Jedes Vielfache wird am Kopf von so vielen superpartikularen Verhältnissen stehen, die ihm vom Namen her entsprechen, wie es selbst von der Einheit entfernt ist, unter keinen Umständen mehr oder weniger", lautet seine Formulierung. So werden in der Zahlenreihe 9:12:16zwei aufeinanderfolgende Quarten des Verhältnisses 3:4 "gezeugt" durch 32 = 9, "zwei Stellen von der Einheit entfernt", und in der Reihe 27:36:48:64 werden drei solche gezeugt durch 33, "drei Stellen von der Einheit entfernt". Das Zahlenverhältnis 4:5 wird auf ähnliche Weise erweitert durch 16:20:25 und durch 64:80:100:125. Das ist überdies auch der Fall beim Verhältnis 3:5, denn die Nikomachische Regel gilt auch für beliebige Verhältnisse von Zahlen, die Primzahlen für einander sind.
Die auf diese Weise erhaltenen Zahlen-Reihen sind logarithmisch und wurden von Nikomachos wie auch vermutlich von anderen Pythagoräern als dreieckige Zahlenmatrizen dargestellt; die Zahlenpyramide mit der Spitze nach oben entsteht, wenn ganze Zahlen (2, 3 und 5) verwendet werden; bei der Verwendung der zu ihnen reziproken Brüche (1?3, 1?9, 1?27 usw.) steht die Pyramide auf der Spitze. Die Symbolik der geometrischen Yantras, die sich aus diesen beiden dreieckigen Zahlenmatrizen ergeben, demonstriert die Bedeutung der Reziprozität in der pythagoräischen musikalisch-arithmetischen Kosmologie.

Das Stern-Hexagon
Symbolisch stehen das aufrechte Dreieck (die Pyramide) und sein auf dem Kopf stehendes Gegenstück für Linga (Penis) und Yoni (Vagina), Purusha und Prakriti; gemeinsam ergeben sie das Symbol des Stern-Hexagons, Hexagramms, "Salomonsiegels" oder Davidsterns, das in allen Kulturen der alten Welt vorkommt und in Indien als Shri Yantra (heiliges oder großes Yantra) bekannt ist. Mit den Spitzen aufeinandergestellt, ergeben die Dreicke das Symbol der "Trommel des Shiva", eine sanduhr- oder stundenglasförmige Doppeltrommel aus zwei kegelförmigen Schallkörpern, deren Mittelpunkt als -Bindu (Keim der Manifestation) verstanden wird, von dem aus die zyklischen Rhythmen des schöpferischen Urklangs ihren Ausgang nehmen. Der Gott Shiva, der mit dem Rhythmus seines Tanzes die ständige Bewegung aller materiellen Phänomene dirigiert und kontrolliert, vollführt diesen Tanz an einem Ort namens Chidambaram, dem "Zentrum des Universums", der sich in Wirklichkeit im menschlichen Herzen befindet. Shiva wird fast immer zusammen mit der Göttin Kali oder Durga dargestellt, seiner Shakti oder kreativen Energie, ohne die er nicht handeln kann. Im Tanz sexueller Vereinigung miteinander bilden sie zusammen den Bindu, den "Funken der Schöpfung" oder "Samen des Universums". Der Klang von Shivas Trommel (in Indien Damaru genannt), wird mit dem "Urklang" gleichgesetzt, mit dem rhythmischen Puls des Universums. Die Trommel wird als Sitz jener heiligen Kraft betrachtet, die alle Phänomene schafft, sowie als "Stimme der Schutzmächte".
Musikalisch gesehen, ist dieses Hexagramm eine Zahlenmatrix für die diatonische Stimmung (auch reine oder natürliche genannt), bei der die natürliche Obertonreihe eines Grundtons verwendet wird. Es zeigt sich, dass die "Trommel des Shiva" eine Teilmenge der reinen Stimmung des Hexagramms darstellt; sie repräsentiert die so genannte pythagoräische Stimmung, die bis ca. 1550 die europäische Musik beherrschte (als man die "mitteltönige Stimmung" einführte, die schließlich um 1700 von der "wohltemperierten Stimmung" abgelöst wurde). Ihre Töne werden durch das Stimmen in reinen Quarten und Quinten ermittelt; sie enthielt zunächst nur sieben Töne und wurde erst später um die fehlenden Halbtöne zur Chromatik ergänzt. Hexagon, Pyramide und Trommel erzeugen nicht von selbst Tonleitern; die von ihnen produzierten Zahlenreihen mit gleichen Intervallen müssen erst in Ton-Mandalas "zu Kreisen gekrümmt werden", wie Plato es im "Timaios" nennt. Für die dort überlappenden Intervalle muss dann ein neuer Satz von passenden "kleinsten ganzen Zahlen" ermittelt werden.
Die Zahlen-Yantras besitzen mannigfache Bezüge zur vedischen Mythologie, wie McClain zeigt. So beantwortet das Hexagramm die Frage, die Dirghatama in der "Vision in langer Dunkelheit" stellt: "Was ist der Ungeborene, der die sechs Regionen auseinanderstemmte?" - In McClains Interpretation ist "der Ungeborene" die Einheit, die als geometrisches Mittel für die reziproken Dreiecke des Hexagramms agiert. Derselbe Rishi beschreibt auch die Mutter als "die Kuh, die alle Formen in drei Richtungen trägt", und Indra-Agni, der indische Heiland und Feuergott, wird als "Stier mit dem dreifachen Horn" bezeichnet, was als Hinweis auf das Sternzeichen des Stiers aufzufassen ist, dessen Hörner ein Dreieck am Himmel bilden und in dessen Zeichen in der Zeit zwischen 4000 und 2000 v.Chr., als dieses mathematisch-mythologische System entstand, in Asien die Sonne aufging. Das Dreieck am Himmel dreht sich wie das Zahlenhexagramm, das McClain das Zahlenmaterial für die Ton-Mandalas oder "Ton-Räder" liefert, um ein Zentrum herum, den Polarstern. Den in den Veden "Mitra-Varuna-Achsnagel des Himmels" genannten Stern identifizert McClain als die geometrische Mitte des Hexagon-Yantras auf D = 1. Die zehn Kieselsteine der pythagoräischen "heiligen Tetraktys" deutet er als die überall im Rigveda auftretenden "Kelter-Steine", die den mysteriösen "Soma-Saft" keltern, dessen Einnahme die vedischen Priester mit berauschenden Erkenntnissen erfüllt und die als die "Arbeiter" und "Ochsen" bezeichnet werden, die unermüdlich den Sonnenwagen ziehen, und von deren "Vätern" es heißt, sie würden sich nicht aus ihrem Sitz bewegen.
Die beiden Dreiecke des Stern-Hexagons oder Shri-Yantras gehören zum zent-ralen Bestand der Symbolik vieler Kulturen. Sie kommen in vielerlei Form vor; zu den wichtigsten Varianten gehört die Anordnung wie beim Davidstern oder wie bei der Trommel Shivas. Sehr wichtig ist ihre Symbolik als Weltenberg (männliches Dreieck) und sein polares Gegenstück, z.B. die vedische Regenwolke, auf die wir gleich eingehen werden. Die polare Symbolik bezieht sich auch auf Leben und Tod, diesseitige und jenseitige Welt, wie der Sinologe Carl Hentze für das prähistorische China, frühe pazifische Kulturen und das präkolumbische Amerika gezeigt hat (Hentze 1955, 1961). Während das Symbol des Gefäßes (weibliches Dreieck) für das Leben steht, symbolisiert das umgedrehte (ausgeleerte) Gefäß (männliches Dreieck) den Tod. In vielen prähistorischen Gräbern hat man solche umgedrehten oder zerbrochenen Gefäße als Grabbeigaben gefunden. Es ist wohl kein Zufall, dass in den Mythen Berge als Aufenthaltsort der Toten gelten. Auf die gleiche Symbolik ist zurückzuführen, wenn bronzezeitliche Tote mit dem Schwert oder Dolch statt auf der linken auf der rechten Seite bestattet wurden, denn die Welt der Toten galt als Spiegelung des Diesseits. Dazu passt, dass die ägyptische Pyramide die räumliche Expansion der materiellen Manifestation aus dem "Samen" der Spitze heraus symbolisiert (ursprünglich trug sie eine goldene Spitze), wo Ätherisches aus der "anderen Welt" ins Diesseits einströmt und in -Materie transformiert wird.
Der Gott auf dem Berg
Mathematisch-musikalisch noch mächtiger als die Dreiecke des Salomonsiegels, der Pyramide und der Trommel Shivas sind eine andere Art von Yantras, die McClain aus den rigvedischen Versen erschließt. Es sind eine Art von asymmetrischen "Stufenpyramiden-Yantras" mit einer gezackten Seite, die an die von Indra geschleuderten Blitze erinnert. Diese Yantras, in der alle Töne nur einmal vorkommen, sind nichts anderes als Multiplikationstabellen für die Primzahlen 3 und 5, die durch eine willkürliche Grenzzahl limitiert sind. Ein solches Yantra ist z.B. dasjenige mit der Grenzzahl 60, wie es für diatonische Tonleitern benötigt wird, und ein größeres mit der Grenzzahl 720, wie es zur Darstellung der chromatischen Tonleiter erforderlich ist. Zusammen mit den auf dem Kopf stehenden Dreiecken ihrer tonalen Reziproke ergeben diese Dreieck-Yantras wiederum eine Art Hexagon-Yantra ähnlich dem Salomonsiegel, sind jedoch umfassender als diese. Jedes einzelne Dreieck des Stern-Hexagons kann nämlich irgendwo innerhalb ihrer Grenzen aufgefunden werden und bildet eine Teilmenge von ihnen. Die horizontalen Zahlenanordnungen von Pyramide und Trommel sind hier zu einer einzigen Reihe zusammengezogen, die durch die neue horizontale Achse dieser Dreiecke läuft. Die horizontalen Reihen besitzen die gleiche Bedeutung wie diejenigen in der Trommel, und die Drei-ecke insgesamt haben die gleiche Zahl von möglichen Bedeutungen wie im Stern-Hexagon. Diese Stufenpyramiden-Yantras sind logarithmische Zahlenmatrizen, die nach Belieben versetzt und und reziproziert werden können, d.h. nach oben oder nach unten oder nach rechts oder nach links verschoben und um 180° gedreht werden können, so dass zwar die arithmetische Form sich verändert, das Ganze jedoch musikalisch invariant bleibt. In jeder horizontalen Reihe gehören die Tonzahlen zur gleichen Reihe von perfekten Quinten (2:3) oder den dazu komplementären perfekten Quarten (3:4). Die Zahlen auf einer Diagonalreihe von links unten nach rechts oben ergeben reine große Terzen (4:5), die Zahlen der anderen Diagonalen von rechts unten nach links oben ergeben reine kleine Terzen (5:6). Gleiche Tonzahlen in benachbarten Reihen besitzen einen tonalen Abstand von der Größe des syntonischen Kommas (80:81). Die Zahlen können nach Belieben mit den Potenzen von 2 multipliziert werden, um die gleichen Töne in einem anderen "Doppel" (z.B. 60:30,720:360) zu erhalten.
Durch die Verwendung von neuen "kleinsten gemeinsamen Vielfachen" wird der Referenzton D in seiner "Numerosität" transformiert, so dass er sich zum Zentrum des Dreiecks bewegt, wo er als eine Art "Gott auf dem Berg" fungiert. Die Multiplikationstabelle für 3 ¥ 5 selbst erhält ab einer gewissen Größe zusammen mit ihrem Reziprok die "Stundenglas"-Form, die mit der Symbolik des heiligen Bergs Meru verbunden ist. In der Tat war eine ähnliche Multiplikationstabelle, die in der Mathematik als "Pascal-Dreieck" wohlbekannte dreieckige Tabelle der Koeffizienten der Zahlenentwicklung (a + b)n, bereits dem altindischen Mathematiker Pingala (ca. 200 v.Chr.) unter dem Namen "Meru-Berg" bekannt und wurde von diesem in Stundenglas-Form dargestellt (Singh 1936).
Dieses Yantra hält McClain im Kontext seiner Entdeckungen für sehr bedeutend. Die einzigen tonalen Bedeutungen in diesem Yantra, die bei Reziprokation invariant bleiben, sind diejenigen entlang der zentralen horizontalen Achse. Darauf scheint sich eine Stelle in der bereits erwähnten Schöpfungshymne des Rigveda zu beziehen, wo es heißt, Weise hätten mit ihrem Herzen die Verwandtschaft des Existierenden im Nichtexistierenden entdeckt, und zwar in Form einer "trennenden Linie, die sich quer erstreckt" (Rigveda 10.129). Diese quer trennende Achse entsteht nach McClain, wenn der "Ursame" des Stern-Hexagramms wie beschrieben wächst. Sie enthält die Töne, die die "Sonnengötter" symbolisieren. Da es nur fünf von ihnen gibt (C, G, D, A, E), werden sie zahlenmäßig übertroffen von jenen anderen Kreaturen "darüber" und "darunter", die das Rigveda erwähnt. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass sie entweder einen Überschuss oder einen Mangel an Potenzen von 5 besitzen. Wenn es in den Rigveda-Versen anschließend heißt, "die Götter sind später als die Entstehung dieser Welt", so nimmt McClain dies als Anspielung darauf, dass das Zahlenfeld systematisch bis zu einem größeren Limit wachsen muss, um entlang dieser Achse zwölf Töne zu erzeugen. Die bereits früher erwähnte Stelle in der Schöpfungshymne, wo es heißt, "er, dessen Auge diese Welt im höchsten Himmel lenkt", deutet unser Autor in dem Sinn, dass Gott - das geometrische Mittel beim Ton D - in diesem Yantra transformiert worden ist in den kleinsten gemeinsamen Nenner für die Töne, die in den Diagrammen repräsentiert sind, nämlich 720, und seine Strahlen in allen Richtungen durch die Tabelle schickt. Damit wird wieder einmal betont, dass alle Per-spektiven von gleicher Bedeutung sind.

Tanz des Universums
Die Zahlen, die bei Reziprokation invariante tonale Bedeutungen behalten, die drei Töne G, D und A in dem kleineren Stufenpyramiden-Yantra der reinen Stimmung, und die fünf Töne C, G, D, A und E in dem größeren Yantra der chromatischen Stimmung, nennt McClain "Brahmanen-Töne". Über sie heißt es in Rigveda 2.27.11: "Weder rechts noch links unterscheide ich, weder Ost noch West". Nur entlang der zentralen horizontalen Achse, die von ihnen gebildet wird, "breitet sich das Entzücken der Götter in Querrichtung aus" (Rigveda 10.70.4). Die vedischen Verse enthalten auch Hinweise auf den rituellen Hin-und-Her-Tanz der Brahmanen-Priester, ähnlich der Bewegung des Chors im antiken griechischen Theater, wenn Verachtung ausgedrückt wird für "jene Menschen, die weder zurücktreten noch sich nach vorne bewegen" (Rigveda 10.71.4). Damit begegnen wir erneut einem Hinweis auf den Zusammenhang der frühesten Entwicklungen von Geometrie und Arithmetik mit dem Tanz (Seidenberg 1962, siehe letzte Folge). McClain ist überzeugt, in diesen fünf "Brahmanen-Tönen" die klanglich-arithmetischen Entsprechungen der ursprünglichen "fünf arischen (d.h. indogermanischen) Völker" entdeckt zu haben, die in den Veden erwähnt werden. Die Expan-sion des Zahlenfelds, die McClain in den späteren Diagrammen verfolgt, würde sich auf deren Ausbreitung über das "Land der sieben Flüsse" beziehen.
Das nach oben zeigende männliche Dreieck scheint somit dem vedischen "Gottesberg" Meru zu entsprechen, während das auf der Spitze stehende weibliche, inverse Dreieck der vedischen "Regenwolke" entspricht, wobei die Diagonalen der Yantras metaphorische Regentropfen sind. Je mehr es von oben "regnet" und immer größere gemeinsame Nenner einsetzen müssen, um Reziproke in Ganzzahlen-Reihen integrieren zu können, umso tiefer werden die "Wasser" unterhalb der "quer trennenden Achse", die als "Erde" fungiert, die die zwei Wasser separiert. Es sind die akustischen Tatsachen, die solche Expansionen durch ein Dreieck von vierzehn Stufen nötig machen. Der Mond, der während vierzehn Tagen zunimmt oder abnimmt, ist in den Augen der Veden mit den "Kelter-Steinen" verbunden. Deren Sexual- und Schöpfungs-Symbolik legt die Erkenntnis nahe, dass "Soma" seine Kraft den "Sängern" verdankt, die dieses ganze Universum "mit ihrem Geist" erschaffen. Dies gilt für beide Bedeutungen des Sanskrit-Worts, das sowohl für den berauschenden Saft dieses Namens wie auch für den Mond steht, der als sein Gefäß betrachtet wird und abnehmen soll, wenn die Götter davon trinken.
Diese algebraischen Yantras waren in Indien, Mesopotamien und Ägypten bereits im 4. und 3. Jahrtausend v.Chr. bekannt - ihre Symbolik ist jedoch viel älter und kann bereits für das Neolithikum (Jungsteinzeit) belegt werden. Die fundamentalen Formen der elementaren Geometrie, wie z.B. Dreiecke, Vierecke, Gruppen von Dreiecken in verschiedenen Anordnungen bis zu komplexen Mandalas, finden sich bereits in den Zeichnungen und Mustern der neolithischen Töpferei, in Textilien und Flechtwerk, wie sie z.B. in den türkischen Fundstätten von Hacilar und Çatal Hüyük, in der vor-vedischen Harappa-Kultur Indiens und in der -Vinca-Kultur auf dem Balkan gefunden worden sind. Sie sind ein Ausdruck davon, dass auch die entsprechenden Kenntnisse der Zahlen-theo-rie zumindest ansatzweise schon vorhanden gewesen sein müssen.

Verwendete Literatur:
Georg Feuerstein: Shambala Encyclopedia of Yoga. Shambala, Boston 1997. • Carl Hentze: Tod, Auferstehung, Weltordnung. Origo Verlag, Zürich 1955. • Carl Hentze: Das Haus als Weltort der Seele. Klett Verlag, Stuttgart 1961. • Ernest G. McClain: The Myth of Invariance. The Origin of the Gods, Mathematics and Music from the Rg Veda to Plato. Shambala, Boulder 1978. • Ernest G. McClain: Pythagorean Plato: Prelude to the Song Itself. Nicholas Hays, Stony Brook N.Y. 1978. • Otto Neugebauer: The Exact Sciences in Antiquity. Princeton University Press, Princeton 1952. • Antonio T. de Nicolás: Four-Dimensional Man: The Philosophical Methodology of the Rigveda. Dharmaram College Studies Nr. 6, Bangalore 1971.• Abraham Seidenberg: The ritual origin of geometry. Archive for the History of the Exact Sciences, Vol. 1 (1962), S. 488-527. • A.N. Singh: On the use of series in Hindu mathematics. Osiris, Vol. 1 (Januar 1936), S. 606-628.