Der Kristallplanet, Teil 12

von Marco Bischof erschienen in Hagia Chora 20/2005

Die Forschungen zum antiken musikalisch-arithmetischen Weltverständnis, auf dem letztlich eine Idee wie die des Kristallplaneten beruht, sind bemerkenswert aufschlussreich. Diesen und den nächsten -Beitrag widmet Marco -Bischof dem Musikwissenschaftler -Ernest G. McClain, der die in der letzten Folge vorge-stellte mathematische Interpretation des indischen Rigveda von -Antonio de Nicolás musikalisch fortführt.

Ernest G. McClain war bis 1982 Professor für Klarinette und Musikwissenschaften am Brooklyn College der City University in New York und lebt heute in Washington D.C. Er hatte bereits in einer Reihe von Aufsätzen Platos Gleichnisse einer musikalischen Deutung unterzogen (McClain, 1973, 1974, 1975), als er 1974 Antonio de Nicolás traf und mit ihm eine langjährige Zusammenarbeit begann. Als deren Resultat veröffentlichte er 1976 sein bahnbrechendes Buch "The Myth of Invariance", das allerdings ohne musiktheoretische und mathematische Grundkenntnisse nicht leicht zu lesen ist. In seinen weiteren Werken "Pythagorean Plato" (1978) und "Meditations through the Quran" (1981) sowie in einer Reihe von neueren Arbeiten, die er zum Teil auf seiner Internetseite www.ernestmcclain.net zugänglich gemacht hat, setzte er diese Forschungen fort. Wie der australische Wissenschaftsphilosoph Graham Pont schreibt, hat McClain "neben Hans Kayser und Rudolf Haase wohl am meisten dazu beigetragen, dass heute der Neo-Pythagoräismus ein wichtiges Element postmoderner Philosophie und Wissenschaft bildet" (Pont, 2004), wie es z.B. im Werk von Joscelyn Godwin oder David Fideler zum Ausdruck kommt (Godwin, 1987, 1989, 1993; Fideler, 1987, 1991-2000).



Musikalisches Gegenstück zu de -Nicolás’ "Four-Dimensional Man"
Sein Hauptwerk "The Myth of Invariance" hat McClain als "musikalische Gegenstück" zum Werk "Four-Dimensional Man" von de Nicolás konzipiert, als musikalische Illu-stration dessen, was de Nicolás "verkörperte Vision" nennt. De Nicolás zeigt in seinem Buch, dass die vedischen Hymnen des alten Indien von einer tiefen mathematischen Logik durchdrungen sind, die in jener Kultur, in der der "Klang immer das wichtigste Vehikel der Wahrheit" war, in musikalischer Form auftritt. In seinem eigenen Werk ist nun McClain den musikalischen Aspekten und Hintergründen dieser Grundidee bis ins Detail nachgegangen und hat dabei auch die sumerische, babylonische, ägyptische und hebräische Mythologie einbezogen. McClain ist weder Altertumswissenschaftler noch Mathematiker, besitzt jedoch eine seltene Kombination von musikalischer und philosophischer Intelligenz, gepaart mit der virtuosen Beherrschung von Theorie und Praxis des Stimmens. Wie sein Kollege Siegmund Levarie in seiner Einleitung zu "The Myth of Invariance" schreibt, vollbrachte der New Yorker Wissenschaftler mit diesem Werk "einen intellektuellen Durchbruch von höchster Bedeutung, indem er eine einfache musikalische Erklärung von wichtigen Stellen in verschiedenen Texten der Weltliteratur - dem Rigveda, Plato, dem Koran, der Bibel, dem ägyptischen Totenbuch usw. - vorschlug, die Fachleuten der verschiedenen zuständigen Disziplinen bis dahin ein Rätsel geblieben waren".
McClain gelang es durch eine musikalische Analyse der rigvedischen Vorstellungswelt, die genaue Art und Weise aufzuklären, in der die mathematische Logik sich in diesen Texten musikalisch verkörpert hat. Die Zahlen, die den rigvedischen Menschen interessierten, definieren nämlich verschiedene Stimmungen für die musikalische Skala. Die rigvedischen Hymnen beschreiben diese Zahlen auf poetische Weise, unterscheiden zusammengehörige Zahlen-"Mengen" durch Klassen von Göttern und Dämonen und porträtieren musikalische und arithmetische Gesetzmäßigkeiten mit Hilfe von anschaulichen sexuellen und räumlichen Metaphern. Besondere Bedeutung wird im Rigveda jenen "Invarianzen" (gleichbleibenden Strukturen) zugewiesen, die auch in der griechischen Stimmungstheorie im Zent-rum der Aufmerksamkeit stehen. Weil die vedischen Dichter und Seher sich auf ganze (oder "natürliche") Zahlen beschränkten und durchwegs die kleinsten ganzen Zahlen benützten, die im jeweiligen tonalen Kontext möglich waren, lassen sich heute ihre Konstruktionen durch die Methoden der pythagoräischen mathematischen Harmonielehre rekonstruieren.



Wichtige Vorarbeiten
Die spezifischen Prinzipien und mathematischen Methoden, die McClain für die Analyse solcher "pythagoräischer" Allegorien einsetzt, wurden in den 50er-Jahren des 20. Jahrhunderts von Robert S. Brumbaugh (1918-1992), Professor für antike und mittelalterliche Philosophie an der Yale-Universität in New Haven, Connecticut, entwickelt. Mit ihm stand McClain bis zu dessen Tod in Briefwechsel und verdankt ihm wichtige Einsichten. Die in Brumbaughs Buch "Platos mathematische Imagination" (Brumbaugh 1954) entwickelten Grundprinzipien sind zusammengefasst folgende: (1) die musikalische Oktave dient als Matrix für die Zahlentheorie, (2) alle Zahlenverhältnisse werden, unabhängig von ihrem Kontext, immer durch die kleinsten möglichen ganzen Zahlen definiert, und (3) die Logik der Allegorien ist im wesentlichen eine geometrische und wird am besten durch die geeigneten Diagramme studiert, auf die in den Texten angespielt wird, die aber sonst nicht überliefert sind. Viele von Brumbaughs Zeichnungen können direkt als grafische Darstellungen von "Tonzahlen" gelesen werden, und Brumbaugh liefert eine sehr gut verständliche Zusammenfassung der geometrisch-arithmetischen Symbolik in den antiken Plato-Kommentaren.
McClain weist jedoch darauf hin, dass sich bereits Albert von Thimus (siehe Hagia Chora Ausgabe 16), vor 100 Jahren auf viele der arithmetischen und geometrischen Strukturen in der akustischen Vorstellungswelt der Antike bezogen hatte, inbesondere auf das griechische c (Chi), Platos Symbol für die Weltseele, die indische "Trommel des Shiva", die man als Überschneidung der Potenzenreihe von 2 mit den Potenzen von 3 verstehen kann, oder von Sequenzen von Oktaven und Quinten. Thimus machte auch auf die Rolle der Zahl 720 für die Bestimmung der reinen oder diatonischen Tonleiter aufmerksam, die für die musikalische Kosmologie aller alten Zivilisationen so zentral ist. Das wichtigste Element für das musikalische Verständnis des rigvedischen Denkens kam jedoch, wie McClain schreibt, von seinen Kollegen und Lehrern vom Brooklyn College, den Musikwissenschaftlern Ernst Levy und Siegmund Levarie. Vor allem mit Ernst Levy blieb er noch nach dessen Ruhestand in Kontakt. Wie McClain erklärt, betrachtet er sein eigenes Werk "nur als eine Fortsetzung seiner (Levys) früheren Studien und eine Anwendung seiner Erkenntnisse über die musikalische Imagination der pythagoräischen Tradition". Bei Ernst Levys Arbeit geht es in erster Linie um den Begriff der Reziprozität, die pythagoräische Vorliebe für Gegensätze. Zum Teil von Thimus angeregt, hat Levy in einer Reihe von bisher unveröffentlichten Abhandlungen über Harmonie pythagoräische Methoden und Metaphern auf die moderne harmonische Analyse angewendet. Seine und Levaries gemeinsamen Werke "Tone: A Study in Musical Acoustics" (1968) und "Musical Morphology" (1983) machen das dichterische Gefühl für Zahlen und Töne anschaulich, das auch die rigvedischen Seher und Dichter beseelte.
McClain nennt auch die wichtigen Vorarbeiten von Marius Schneider (siehe Hagia Chora Ausgabe 18), der als einer der ersten Musikwissenschaftler auf die zentrale Rolle der Musik in der geistigen Entwicklung der Menschheit hingewiesen und deutlich gemacht habe, dass alle frühen Kosmologien auf der Vorstellung des Klangs als "Ursubstanz" der Welt aufgebaut hätten.



Mythen als arithmetische Metaphern
Wenn auch die von McClain angewandte Methode im Prinzip nicht neu ist, so ergab jedoch das, was er daraus machte, erstaunliche Resultate. Der Schlüssel lag in der Praxis der Monochord-Stimmung, über dessen frühe Verwendung und Bedeutung McClain wesentliche neue Erkenntnisse zutage förderte. Er nahm nämlich die Zahlen, die beim Stimmen des Monochords entstehen und verwendet werden, und wies ihr weit verbreitetes Vorkommen in musikalisch-arithmetischen Allegorien, Mythen und Metaphern in den ältesten schriftlichen Zeugnissen der Weltliteratur nach, sei es in babylonischen, ägyptischen, indischen, griechischen, islamischen oder hebräischen Texten. Diese Zahlen scheinen Ausdruck einer frühen geistigen Tradition zu sein, die allen diesen frühen Zivilisationen gemeinsam war. In der Antike waren Symbolik und Mathematik anerkannte spirituelle Sprachen, mit denen oft grundlegende geistige Ideen vermittelt wurden. In der Neuzeit geriet diese symbolische Bedeutung von Musik und Mathematik in Vergessenheit, deshalb konnten Gelehrte lange mit den vielen Textstellen der frühen Weltliteratur nichts anfangen, in denen Zahlen eine auffallende und rätselhafte Rolle spielen. Sie hielten sie für mathematischen Unsinn oder bedeutungslose literarische Albernheiten.
Die Zusammenhänge zwischen Mythos und Musik sind nach McClain noch tiefer als diejenigen zwischen Mythos und Astronomie, wie sie Giorgio de Santillana und Hertha von Dechend in ihrem Werk "Hamlets Mühle" demonstriert haben (siehe Hagia Chora Ausgabe 18). Alte mythologische Geschichten sind oft, wie McClain schreibt, "verbale Kommentare über Matrix-Arithmetik, und viele solcher Geschichten sind am besten zu verstehen als eindeutige musikalische Allegorien". Die Grundlage dieser Mythologien sei "eine numerische Logik auf der Basis einer Quantifizierung der Stimmungs-Theorie; diese Grundlage scheint bereits im 4. Jahrtausend v.Chr. gelegt worden zu sein, noch vor der Erfindung der Schrift, so dass die Musiker nun seit 5000 Jahren im Wesentlichen die gleiche fossile Wissenschaft angewendet haben". In seinem Buch "Der Mythos der Invarianz" versucht er die Zahlen der rigvedischen Hymnen nach den Prinzipien der griechischen Stimmtheorie zu analysieren und damit, wie schon Santillana und Dechend es für möglich hielten, Plato als "lebenden Rosettastein" für die Erschließung der dunklen Wissenschaft früherer Kulturen zu benützen. Dabei geht McClain von der Annahme aus, dass die vedischen Poeten sich so gut wie andere Völker in der Geschichte mit der Theorie der Stimmung auskannten. Sie wussten etwas über die Längenverhältnisse der Saiten auf ihren archaischen Harfen und entwickelten davon ausgehend weitere Erkenntnisse mit rein arithmetischen Methoden.
In der Tat wissen wir heute, dass musiktheoretische Kenntnisse selbst bei den frühesten Kulturen schon ausgebildet waren. In den 70er-Jahren gelang es der amerikanischen Assyriologin Anne D.Kilmer nach 15-jähriger Forschung, eine der ältesten musikalischen Aufzeichnungen der Welt zu entziffern. Es handelte sich um Tontafeln mit Keilschrift, die in den frühen 50er-Jahren in der syrischen Stadt Ras Shamra, dem antiken Ugarit, ausgegraben worden waren. Die Tafeln, die etwa aus dem Jahr 1400 v.Chr. stammen und in hurritischer Sprache geschrieben sind, enthalten u.a. eine vollständige Hymne an die Göttin Nikal, Gemahlin des Mondgottes. Der Text der Hymne ist begleitet von einer Aufzeichnung der Melodie und detallierten Anweisungen (in akkadischer Schrift) für das Stimmen der Harfe und für den Gesang und das Spielen des Instruments. Kilmer und andere Wissenschaftler haben verschiedene Transkriptionen der Hymne in moderne Notation vorgeschlagen, die im Internet sogar zu hören sind (siehe http://www.dfw.net/~amaranth/hurrian.htm, sowie Kilmer, Crocker & Brown, 1976). Aus der mesopotamischen Hochkultur stammt wahrscheinlich auch eines der wichtigsten Instrumente der griechischen Musik, die Lyra, die zwischen 1000 und 2000 Jahre älter ist und von der mesopotamischen Harfe abgeleitet ist, genauso wie auch ihre Stimmung von 6 : 8 : 9 : 12. Der historische Pythagoras soll in Babylon studiert haben und hat wahrscheinlich das Wissen über die präzise mathematische Beziehung zwischen Tonhöhe, Saitenlänge und numerischer Proportion von dort mitgebracht. Die aus historischen Quellen erstmals von Mesopotamien bekannte älteste musikalische Kosmologie, von der sich die pythagoräische Tradition herleitet, war, wie Graham Pont vermutet, inspiriert durch die Verwendung der ganzen Zahlen 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12 im Tanz (Pont, 2004). 6, 8, 9 und 12 sind die kleinsten ganzen Zahlen, mit denen das symmetrische System von überlappenden Zahlenverhältnissen, der Grundintervalle der musikalischen Tonleiter - Oktave (2 : 1), Quinte ( 3 : 2), Quarte (3 : 4) und großer Ganzton (8 : 9) - , das natürliche Gerüst der antiken und modernen diatonischen Tonleitern, dargestellt werden kann.
Dieses archaische Wissenssystem, das wahrscheinlich in die Steinzeit zurückgeht und die früheste für uns erschließbare Form von Rationalität darstellt, strukturierte und interpretierte die sichtbare Welt mit Hilfe von Musik. Eines der bekanntesten Beispiele dafür sind die australischen Songlines (auch Traumpfade genannt), die die Landschaft der Aborigines mit einer Art musi
kalischer Kartographie strukturierten, in der es für jeden Ort und Landstrich einen zugehörigen Gesang und rituellen Tanz gab, der auch als eine Art Reisepass zum Überqueren von Stammes- und Sprachgrenzen diente. Wie Raymond Haynes berichtet, begannen nach einem Mythos aus Queensland sogar die Sterne, die bis dahin regellos im Universum verstreut waren, zu tanzen und ordneten sich entsprechend an, als sie den Gesang des Orpheus-ähnlichen Heroen Priepriggie hörten; auf diese Weise soll die Milchstraße entstanden sein (Haynes, 1996). Getanzte und gesungene Rituale, mit denen die Harmonie und die Kohärenz von Himmel, Erde und Mensch immer wieder von neuem bekräftigt wurden, stehen am Ursprung des archaischen Weltbilds. Wie Curt Sachs in seiner "Weltgeschichte des Tanzes" (Berlin 1933) zeigte, kommt der "Astral-Tanz", der die kreisförmige Präzession der Sterne imitiert, auf allen Kontinenten vor; er geht wohl auf prähistorische Ursprünge zurück und demonstriert die frühe Entstehung des "Wie oben, so unten"-Prinzips (siehe auch James L. Miller, 1986). Erst später wurde das archaische Weltbild mathematisiert; vermutlich wurde die Makrokosmos-Mikrokosmos-Analogie nach der neolithischen Revolution in den ersten Dörfern und Städten, wo Landwirtschaft betrieben wurde, in eine präzise mathematische Analogie verwandelt (und zwar auf der Basis des Duodezimal-Systems, nicht des Dezimal-Zahlensystems) und so die spätere "pythagoräische Tradition" begründet. Die gesamte Geometrie geht wahrscheinlich auf solche Rituale zurück (Seidenberg, 1962, 1981); alle Begriffe der prä-euklidischen griechischen Geo-metrie sind aus der Musiktheorie abgeleitet (-Szabó, 1978).
Da die rigvedischen Dichter nirgends eine systematische Darstellung ihrer Kosmologie geben, rekonstruierte McClain im "Mythos der Invarianz" eine, die auf einer Abfolge von Ton-Mandalas und algebraischen Yantras beruht, zu denen der rigvedische Text als Kommentar gelesen werden kann. Wie er schreibt, ist "die indische Logik von einer essenziell geometrischen Natur"; geometrische Darstellungen wie Mandalas und Yantras spielen in der indischen Kultur eine wichtige Rolle als statische Darstellungen des dynamischen Geschehens der akustisch-mythischen Kosmologie. Die Abfolge der Mandalas und Yantras trägt den Leser des Buches Schritt für Schritt von den einfachsten Zahlen und Zahlenkonstruktionen bis hin zu den umfangreichsten und komplexesten.
Die Analyse, die McClain anbietet, ist von zweierlei Art. Auf der einen Seite die mathematische Analyse der musikalischen Harmonik, die leicht nachzuprüfen ist, da die Zahlentheorie nur wenig Spielraum für persönliche Meinungen lässt. Die imaginative Deutung der mathematischen und musikalischen Metaphern hingegen, der der Autor ebenfalls viel Platz widmet, ist natürlich eine persönlich gefärbte Rekonstruktion, wie er selbst schreibt, deren Plausibilität zu beurteilen dem Leser überlassen bleibt.



Das Ton-Mandala
McClain beginnt seine Analyse mit der Darstellung des "Ton-Mandalas". Das zentrale geometrische Bild im Rigveda ist das Mandala des "einrädrigen Wagens der Sonne", von dem es heißt, er habe "zwölf Speichen und drei Naben" und rolle "rund ums Himmelsrund". "Wenn wir verstehen, wie die vedischen Dichter auf die zwölf Speichen für den Sonnenwagen kamen", schreibt McClain, "wird dieser Essay seinen Zweck erreicht haben".
Wie die amerikanische Ethnologin Mary Danielli (1914-2002), die auch durch Veröffentlichungen über chinesische und madegassische Geomantie hervorgetreten ist, in einer bedeutenden Arbeit über Mandalas schreibt, waren "in der Frühzeit der menschlichen Geschichte Zahlen fast unweigerlich mit der Symbolik des Mandalas verbunden" (Danielli, 1974). Sie definiert die charakteristischen Eigenschaften dieses Symbols, die auch auf die musikalischen Mandalas McClains anwendbar sind, wie folgt: (1) Ein Mandala ist eine konzentrisch um ein Zentrum herum angeordnete Figur (diese Festellung ist anwendbar sowohl auf die Tonkreise, von denen gleich die Rede sein soll, wie auch auf reziproke Yantras, die etwas später zur Sprache kommen). (2) Es ist symmetrisch um drei Achsen (bei allen Ton-Yantras der Fall) oder manchmal auch zwei Achsen. (3) Es ist selbst-reproduzierend, d.h. sein Muster kann einer arithmetischen Translation und einer tonalen Transposition sowie einer geometrischen Rotation und Spiegelung unterworfen werden. (4) Obwohl es oft zweidimensional dargestellt wird, ist es eigentlich dreidimensional. Wie McClain schreibt, stellen die meisten Yantras in seinem Buch Multiplikationstabellen für die Primzahlen 3 und 5 dar und sind somit zweidimensional; die Potenzen der Zahl 2 stellen jedoch eine "dritte Dimension" dar, die für jegliche tonale Verwirklichung von Bedeutung ist und mental hinzugedacht werden muss. (5) Jeder Teil eines Mandalas kommuniziert mit jedem anderen Teil: Musikalische Intervalle überlappen sich innerhalb der Grenzen der Oktave und etab-lieren dadurch alternative Kommunikationskanäle zwischen zwei Tönen; in einem Mandala hat jede Linie, jede Verbindung und jeder Zwischenraum eine Bedeutung: jede Verbindung ist eine Zahl und ein Ton, jeder Zwischenraum ein Klangintervall und ein Zahlenverhältnis, und jede Linie ist ein Verbindungsweg.
Die Ton-Mandalas McClains entstehen zum einen dadurch, dass die musikalische Oktave selbst eine zyklische Struktur besitzt; diese ist die Invariante (das gleichbleibende Element) in allen Stimmungs-Systemen. Das Grundprinzip der praktisch-pythagoräischen Forschung ist, dass jede schwingende Saite (oder Luftsäule, bei Blasinstrumenten) einer beliebigen Referenzlänge halbiert werden kann, um die nächsthöhere Oktave, bzw. verdoppelt, um die nächsttiefere Oktave ertönen zu lassen. Auf diese Weise kehren die Töne mit ihrer Oktave wieder - gleichzeitig in gewisser Weise als der "gleiche" Ton und in einem anderen Sinn als "verschiedener" Ton. Damit kann jede beliebige Oktave als Modell für alle möglichen Oktaven dienen. Der Tonkreis funktioniert somit als zyklische Matrix, innerhalb derer abgeleitete Töne "geboren" werden.


Kosmologische Bezüge
Der Hauptzweck, den die Zahlentheorie und die Musiktheorie in der archaischen Kosmologie zu erfüllen hatten, war es, den Himmel mit der Tonleiter und dem Kalender zu harmonisieren. Obwohl Musiker jeweils nur ein Maximum von sieben Tönen aufs Mal benötigen, wird in der alten Musiktheorie die Oktave in zwölf Teile geteilt, um diesem Zweck gerecht zu werden. Im Rigveda heißt es, "der Mond ist es, der die Jahre formt", denn es ist der Mond, der den Sonnenzyk-lus in ungefähr zwölf Unterzyklen teilt. Der erwähnte vedische einrädrige Sonnenwagen symbolisiert diese Harmonisierung der Mondmonate mit dem Sonnenjahr und den Tierkreiszeichen. Die zwölf "Speichen" des Rades sind die zwölf Töne eines Oktaven-Tierkreiszeichens, und die drei "Naben" deutet McClain als "die Potenzen der drei Primzahlen 2, 3 und 5, von denen jede gewissermaßen mit ihrer eigenen Geschwindigkeit rotiert, und die durch eine beliebige Endzahl korreliert sind, die alle 3 Zahlen in ihren Faktoren enthält".
Wenn die Zeit vollkommen zyklisch wäre und die Bewegung des Himmels sich auf perfekte Kreise und gleichbleibende Geschwindigkeiten beschränken würde, wenn die Tierkreiszeichen alle gleich groß wären und die 12 Mondmonate genau einem Sonnenjahr entsprechen würden, dann könnte der Tonkreis unserer modernen westlichen gleichtemperierten (oder chromatischen) Tonleiter ohne Probleme als visuelle und akustische geometrische Darstellung für die zeitlichen Periodizitäten des Universums dienen. Jede "Felge" des Tonrades würde dann dem Intervall eines Halbtons entsprechen, und die zwölf "Speichen", die für die Töne stehen, könnte als die "Strahlen" der zwölf vedischen Sonnengötter (Adityas) interpretiert werden. Die heutige gleichtemperierte Tonleiter teilt den Oktavkreis in 1200 Cents (gleiche logarithmische Einheiten), so dass jeder Halbton 100 Cents groß ist und allen größeren Intervallen eine ganze Zahl von Halbtönen zukommen. Eine solche Einfachheit war jedoch für die antike Welt, die mit ganzen Zahlen auskommen musste, jenseits der Reichweite ihrer Arithmetik.
Das Charakteristische an der antiken griechischen und der indischen Stimmungstheorie, die so viele Gemeinsamkeiten besitzen, dass McClain sie als "indisch-griechische" zusammenfasst, ist die große Variabilität der Tonhöhen, die sie zulassen. In der modernen Musik ist man gewöhnt, die Töne als feste "Punkte" im Kontinuum der Tonhöhen zu deuten. Die Griechen hingegen benannten die Töne nach den Saiten der Lyra (Saiteninstrument mit lederbespanntem Schildkrötenpanzer als Resonanzkörper, das nur für kultische Zwecke verwendet wurde) und betrachteten bestimmte Töne als fix, andere jedoch als variabel über einen gewissen Bereich. Die indische Musiktheorie lässt eine Variation der Tonhöhe von einem Viertelton (dem kleinsten für das menschliche Ohr wahrnehmbaren Tonhöhenunterschied) bis zu drei Vierteltönen zu. Diese Variabilität der antiken Stimmungstheorie ist es, die die Korrespondenz von Tonleiter und Tierkreis möglich macht, wie in dem Tierkreis des alexandrinischen Mathematikers, Astronomen, Astrologen und Geographen Claudios Ptolemaios (2.Jahrhundert), Autor eines Werkes über Harmonik, der im Jahr 150 den Tierkreis mit Hilfe der temperierten Stimmung "normalisierte" und ihm damit seine heutige Form gab.
Die frühen Formen der Tonleiter wie auch des Tierkreises waren auch nicht auf genau gleichen Unterteilungen ihrer zyklischen Ton-Mandalas aufgebaut. Das Grundkonzept der indisch-griechischen Stimmung bzw. Tonleiter ist, dass sie eine diatonische Skala mit zwei ähnlichen Tetrachorden (Gruppen von vier Tönen) ist. Die kleinsten ganzen Zahlen, die eine solche Tonleiter definieren können, liegen in der Doppel-oktave 30 : 60; es sind die Zahlen 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 54 und 60. Die älteste schriftliche Erwähnung dieser Stimmung findet sich bei Ptolemaios, der sie das "diatonische Syntonon" nannte. McClain ist jedoch überzeugt, dass diese Stimmung bereits in der musikalischen Kosmologie einer Reihe von früheren Kulturen enthalten ist; der alexandrinische Gelehrte hat in der Tat viele Stimmungen aus früherer Zeit vor der Vergessenheit bewahrt und auch selbst einige neue erfunden.
Die erwähnten Zahlen dienen sowohl als Verhältnisse von Wellenlänge wie auch von Frequenz, und McClain kommt zum Schluss, dass diese tonale Reziprozität in der alten Welt wohl bekannt war, jedoch in einer anderen Form. Ganze Zahlen können nämlich sowohl als Vielfache (z.B. 1, 2, 3, 4) wie auch als deren reziproke Bruchteile (?, , ?, ) dienen, insbesondere der Monochord-Seitenlänge, aber auch jeder anderen Quantität von Materie, die vom Standpunkt der Verhältnis-Theorie aus studiert wird. Die indisch-griechische Tonleiter ist die ansteigende Skala D (30), es (32), f (36), G (40), A (45), b (48), [h (50)], c (54) und D (60); die dazu genau reziproke Tonleiter ist unsere moderne Dur-Tonleiter, deren Tonhöhe mit D (30), cis (32), h (36), A (40), G (45), fis (48), [f (50)], e (54) und D (60) ansteigt (siehe Abbildung). Drei Töne, A, D und G, sind beiden Tonleitern gemeinsam, so dass es in diesem Ton-Mandala insgesamt 11 "Schnitte", d.h. Töne, gibt. Das Mandala enthält sowohl ganze Töne der Verhältnisse (Intervalle) 8 : 9 (32 : 36, 40 : 45 und 48 : 54) und 9 : 10 (36 : 40 und 54 : 60) wie auch übergroße "Halbtöne" von 15 : 16 (30 : 32 und 45 : 48), so dass die Unterteilungen des Mandalas deutlich ungleich groß sind. Es gibt in dem Mandala zwei Klassen von Tönen: Die hier mit großen Buchstaben bezeichneten Töne D, A und G sind "fixe" Töne, während die mit kleinen Buchstaben versehenen Töne cis, c, h, b, es, e, f und fis variable Töne sind. Der fehlende zwölfte Ton, As oder Gis, spielt eine bedeutende Rolle in der Mythologie.
Die rigvedischen Dichter müssen diese Stimmung gekannt haben, denn es fällt auf, wie sie die Rolle der Zahlen 30 und 60 bei der Definition von Zyklen und die Rolle von 7 und 11, die Zahl der Tonwerte in diatonischen bzw. chromatischen Zahlensätzen, betonten; zudem beharrten sie auf einem Zusammenhang dieser Zahlen mit Tönen.


Musikalische Zeugung
Zu den wichtigsten Metaphern dieser archaischen Mythologien gehören diejenigen der Zeugung, des Wachstums, der Expan-sion sowie des Zunehmens und Abnehmens. Schon Marius Schneider hatte auf die sexu-elle Vorstellungswelt hingewiesen, die in der traditionellen Wissenschaft so oft mit den Zahlen und Tönen verbunden ist. McClain verdeutlicht nun in seinem Werk, woher die Metapher einer "musikalischen Zeugung" stammt: Die elf Töne der indisch-griechischen Tonleiter können durch eine systematische "Zeugung" aus einem gegebenen Referenzton erzeugt werden. So ist es kein Zufall, dass Metaphern, die sich auf Zeugung und Sexualität beziehen, sowohl im Rigveda wie auch in der westlichen Tradition eine solch auffallende Rolle spielen. Die antiken Griechen sprachen z.B. davon, dass es drei "Geschlechter" von Tönen gebe, diatonische, chromatische und enharmonische. Die Metapher der musikalischen Zeugung wird jedoch erst wirklich verständlich, wenn man die praktische Erfahrung des Instrumenten-Stimmens besitzt, wo der Musiker sozusagen als "Hebamme" für aufein-anderfolgende Töne agiert. Beim Stimmen von Instrumenten beginnt man mit einem gegebenen Referenzton, von dem man alle folgenden Töne ableitet. Andererseits wird das Bild der musikalischen Zeugung auch deutlich, wenn man den kosmologischen Hintergrund des archaischen musikalisch-arithmetischen Weltbilds einbezieht.
Wenn wir de Nicolás’ kosmologisches Schema verwenden, das er als dem Rigveda zugrundeliegende Grundstruktur identifizierte (siehe Hagia Chora Ausgabe 19) , so steht am Anfang der Schöpfung Asat, das "Nichtexistierende" oder ganzheitliche undifferenzierte Urchaos, das vom Drachen Vrtra regiert wird. De Nicolás beschreibt es als ursprünglichen "Raum" oder "Feld", aus dem heraus alle möglichen Differenzierungen in der menschlichen Erfahrung (Sat, das Existierende) aufsteigen. Asat ist ein Feld der Klangentstehung; musikalisch gesehen ist es das kreisförmige Kontinu
urch die Schlange Vrtra, die sich in den Schwanz beißt und so einen Kreis bildet. Es enthält in potenzieller Form alle möglichen Töne, womit Vrtra potentiell mit dem Gott Indra identisch ist, der Sat, die Gesamtheit der manifestierten Klänge, verkörpert. Sat repräsentiert musikalisch gesehen jeden einzelnen Ton und jede Tonhöhenunterscheidung und damit auch jede Zahl, die ein Intervall, eine Tonleiter, ein Stimmsystem oder die entsprechenden Metrik-Schemen der Dichter definiert. Der Konflikt zwischen Indra, der auch das Feld der rationalen Zahlen repräsentiert, und Vrtra, dem Kontinuum der realen Zahlen, endet nie und ist das Hauptthema der musikalisch-mathematischen Mythologie. Die ganzen Zahlen, die neue "Schnitte" und damit Töne in das Ton-Mandala einführen, demonstrieren Indras Macht über Vrtra; dieser wird in jeder Schlacht mit den Göttern von neuem "zerstückelt", doch sein Tod ist nie endgültig, da er auch der Tod der Götter wäre. Ohne Asat, die Stille des Nichtseins, oder sein Äquivalent, den Drachen, gäbe es kein Sein (Sat) und keine Manifestation, keinen Indra und keine Götter, also keine Töne. Der Bereich des Sat ist auch charakterisiert durch die Vielfalt möglicher alternativer Tonvorräte und durch den Konflikt alternativer Tonwerte (im Rigveda als Götter verkörpert), der immer dazu führt, dass die Genauigkeit "geopfert" werden muss, um das System innerhalb bewältigbarer Grenzen zu halten.
Das rigvedische "Opfer" (siehe Hagia Chora Ausgabe 19) besteht in musikalischer Deutung auch darin, dass keines der vielen alternativen musikalischen Stimmungssysteme und metrischen Schemata die Dominanz über die anderen erhält. Der Zustand der "verkörperten Vision", der durch dieses Opfer erreicht wird, besteht in der Freiheit, jederzeit die Perspektive, d.h. die Tonart wechseln und dadurch jenen Meta-Standpunkt einnehmen zu können, der in der in allen Veränderungen verborgenen Invarianz besteht. Die dadurch erreichte integrative Vision der Welt kommt einer Rückkehr zu oder Rückverbindung mit dem Ursprung des Asat gleich; musikalisch gesehen wäre das wohl so etwas wie ein Klang, der mit seinem Ursprung in der Stille verbunden bleibt und dadurch die Qualität der Stille enthält.
Nach Mary Danielli ist "im anthropologischen Sinn eine der Hauptbedeutungen (des Mandalas) Wachstum und Zunahme, die aber nie ihren natürlichen Rahmen verlassen, so dass sie nicht zur Desintegration und Fragmentierung führen" (Danielli, 1974). Wir verstehen nun, wie passend das Symbol des Mandalas zur Darstellung der musikalisch-mathematischen Kosmologie des Altertums ist. Diese Symbolik erweist sich als die Symbolik dieser Kosmologie selbst, deren zentrale Thematik Entstehen und Vergehen, Wachstum und Rückbildung, Formwerdung und Auflösung der Gestalt, Expansion und Kontraktion, Anschwellen und Abklingen sind, wobei sie immer im Rahmen harmonikaler Gesetzmäßigkeiten bleiben. Allen mathematischen und musikalischen Gesetzmäßigkeiten, denen McClain in seinem Buch so kenntnisreich und imaginativ nachgeht, liegt letztlich diese Grundsymbolik zugrunde, die eigentlich eine Symbolik von Manifestation und Inkarnation aus der Quelle der Potenzialität heraus ist. Es ist damit natürlich auch die Symbolik von traditioneller Architektur und Geomantie.
Nach Feuerstein enthält ein Mandala, das gleichzeitig den Kosmos, die Gottheit und den Menschen als gegenseitige Entsprechungen repräsentiert, drei geometrische Hauptelemente: (1) den "Samen" oder Quellpunkt (bindu) im Zentrum, der den Punkt der Potenzialität von Kosmos und Bewusstsein repräsentiert; (2) die darum herum angeordneten Kreise, die verschiedene Ebenen der Existenz repräsentieren; (3) zuäußerst einen quadratischen Rahmen mit vier offenen "Toren" (Feuerstein, 1997). Gemäß dem traditionellen Weltbild liegt der Mensch mit seinem diesseitigen Alltagsbewusstsein sozusagen am untersten Ende einer Hierarchie von Wirklichkeitsebenen, und aus dem Quellpunkt sickert die höhere Wirklichkeit pulsierend in unsere Welt hin-ein, diffundiert in rhythmischen Wellen konzentrisch in die Umgebung und strukturiert als unsichtbarer "Klang" das Geschehen in unserer Welt. Die Pyramide, der wir noch als wichtiges Symbol in McClains Ausführungen begegnen werden, ist letztlich eine Darstellung dieses Geschehens. Sie berührt, als Repräsentant des "Weltberges", mit ihrer Spitze den Himmel, und stellt das vom Himmel her in diese Welt hinein wachsende materielle Leben dar, das an der Spitze, an seinem Ursprung im Quellpunkt, aus dem nichtmateriellen Jenseits herausquillt und umso raumgreifender wird, je weiter es sich von diesem Ursprung entfernt. Die Pyramide ist damit nichts als eine alternative Symbolisierung des "umgekehrten Weltbaumes" der Schamanen, der seine Wurzeln im Himmel hat und sich mit seiner Krone nach unten, in unsere Welt hinein, ausbreitet.


Weibliche und männliche Zahlen
Das Thema der musikalischen Zeugung führt zu weiteren Gleichnissen. Immer wieder heißt es in den alten Mythen, die göttliche Ur-Einheit des Ursprungs sei ein Herm-aphrodit, d.h. doppelgeschlechtlich, und habe als erstes, ohne Mitwirkung einer Mutter, eine Tochter gezeugt, mit der er dann seine Kinder in die Welt setzte. Auch der Rigveda ist durchdrungen vom Thema des Inzests. McClain macht den musikalisch-arithmetischen Hintergrund dieser mythischen Vorstellungen deutlich: Der Vater, das männliche Prinzip der Zahl 1, könne sich nur fortpflanzen mit Hilfe seiner Tochter, der Zahl 2, die das weibliche Prinzip und die Mutter alles Geschaffenen verkörpert. Der Grund für diese rätselhaften "Verhältnisse" liegt in den zugrundeliegenden numerischen und musikalischen Beziehungen - und zwar in der Theorie der Zahlenverhältnisse, die das Kernstück der antiken Musiktheorie bildet. Die Ureinheit des Ton-Mandalas (die 1, der Drache Vrtra) erzeugt durch die Spaltung in zwei Teile die Zahl 2 und damit die erste Modell-Oktave des Intervalls 1 : 2. Die Zahl 2 ist "weiblich" in dem Sinn, dass sie die Matrix (das lateinische Wort bedeutet ursprünglich Gebärmutter) der Oktave schafft, in der alle anderen Töne geboren werden. Die Zwei für sich allein (und auch ihre Potenzen) können jedoch keine weiteren Töne in das Mandala einführen, denn Oktavierung (Verdoppelung oder ihr Reziprok) führt immer nur zum gleichen Ton und ist damit "unfruchtbar". Es sind einzig die ungeraden ("männlichen") Zahlen, die in der Lage sind, neue Töne zu schaffen. Die ersten zehn ganzen Zahlen erzeugen durch Teilungen der Saitenlänge bzw. Vervielfachung der Frequenz die (ansteigende) harmonische Reihe und die (fallende) reziproke harmonische Reihe als arithmetische Zahlenfolge, die Vielfache der Saitenlängen repräsentiert. Im Gegensatz zur heutigen modernen Musik galt in der Antike die reziprok-harmonische Reihe, d.h. die arithmetische Serie der Saitenlängen-Verhältnisse, als musikalische Norm. Die männlichen Zahlen sind deshalb wichtiger als die weiblichen Oktav-Doppel, weil sie es möglich machen, die göttliche Einheit nach einer strengen Methode zu unterteilen. Wenn man die generativen Zahlenverhältnisse, wie dies die griechische Musiktheorie generell getan hat, auf diejenigen zwischen aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen beschränkt, die sogenannten "superpartikularen" Verhältnisse, dann dient jede ungerade Zahl als arithmetisches Mittel für ein früheres superpartikulares Verhältnis und unterteilt dieses nach dem gleichen Prinzip. Entsprechend dient z.B. die Zahl 3 als arithmetisches Mittel zwischen 1 und 2, die Zahl 7 zwischen 3 und 4, 9 zwischen 4 und 5 usw. Wenn die Division immer auf die einfachste Art, durch das arithmetische Mittel, erfolgt, dann erfordert die Division auf-einanderfolgender Zahlenverhältnisse immer größere, aber immer noch aufeinanderfolgende ganze Zahlen. Dass dabei jede Division ein größeres Ton-Intervall zwischen dem kleineren Paar von Zahlen erzeugt, hat der vedische Mensch vermutlich bemerkt und die sich daraus ergebende Reziprozität zu einem integrierenden Bestandteil seines Denkens gemacht.


Indra und das Aswin-Paar
Es sind inbesondere die Zahlen 3 und 5, in der Antike die "göttliche männliche Zahl" und die "menschliche Zahl" genannt, die als "Väter" fungieren, die zusammen alle 11 Töne der indisch-griechischen Tonleiter zeugen. Die gesamte westliche Musiktheorie von ihren griechischen Anfängen bis zum 19. Jahrhundert beruht auf den drei Tönen D, G und A bzw. der musikalischen Proportion 6 : 8 : 9 : 12 (oder 30 : 40 : 45 : 60), die Pythagoras aus Babylon gebracht haben soll. In der vedischen Mythologie sind diese drei Töne, die in der modernen Musiktheorie Tonika, Subdominante und Dominante heissen, nach Auffassung von McClain repräsentiert als "Indra und das Aswin-Paar". Die Zahl Neun ist das arithmetische Mittel und Acht das harmonische Mittel in dieser Oktave; diese beiden Zwillinge funktionieren als die "zwei Fuchs-Stuten" von Indras Wagen, indem sie Indra, die zeugende Macht der musikalischen Verhältnistheorie, an jede Stelle des Tonkontinuums hintragen. So überrascht es nicht, dass die Aswin-Zwillinge im Rigveda mit den lebensspendenden "sieben Mutterströmen" und den daraus entspringenden "sieben Tönen" in Verbindung gebracht werden, denn jeder dieser drei "Muttertöne" kann die Töne der harmonischen und der reziprok-harmonischen Reihe erzeugen.